第15讲：《微分中值定理之罗尔定理与拉格朗日中值定理》内容小结、课件与典型例题与练习

一、基本概念

函数或其导数在某区间中至少存在一点成立的等式或者不等式，常称为中值命题；并且根据等式关系和不等式关系描述的结论分为等式命题与不等式命题.

二、定理及应用注意事项

1、罗尔定理：注意函数满足三个条件（闭区间连续、开区间可导、端点值相等），一定存在导数等于0的中值. 但是不满足条件，也可能有相应的结论！即罗尔定理的条件是充分而非必要的！当然，结论不全具备，也就不一定有相应的结论！ 2、拉格朗日中值定理：两个条件（闭区间上连续，开区间内可导）满足，则一定有相应的结论。结论不同的描述形式，尤其是增量形式，由此可以验证、推导函数结论。

其中位于与之间，. 

【注1】：拉格朗日中值定理架起了函数值、导数值和自变量的取值之间的桥梁。在问题中看到两个函数值的差的描述，或可以改写为两个函数值差的描述的情况下，如果函数可导，则可以将其描述为导数值与自变量增量（自变量差）的乘积，从而探索可能的验证、求解问题得到思路与方向。 【注2】：一般地,  只有当时, 用代替时所产生的误差才趋于零,  而拉格朗日中值定理的增量描述形式则给出了自变量取得有限增量时，函数增量的准确表达式. 推论：如果在内恒有，则在内恒为常数. 由此可知，两个导函数相同的函数之间只相差一个常数.

三、两个定理适用的问题类型

(1) 证明存在一点使得等式成立的中值等式命题可以考虑使用零值定理与罗尔定理，如果有函数值差的结构，或者可以写成两个函数值差的结构，可以考虑拉格朗日中值定理 (2) 证明存在一点不等式结论成立的中值不等式命题可以考虑使用拉格朗日中值定理
(3) 由拉格朗日中值定理的有限增量形式和端点的任意性，也可以应用拉格朗日中值定理证明函数不等式的结论. 

四、应用定理证明问题的一般思路

(1) 改写中值等式或不等式，将所有项移到一侧；对于包含有两个中值的等式，将不同的中值相关的式子各自移到一侧； (2) 令表达式中的中值为变量x，求一个导数等于相应函数表达式的函数，构造辅助函数F(x)； 【注1】对于辅助函数的构建常用结构可以参见专题：专题04-《微分中值定理》中值命题证明思路与典型题分析(一) (3) 验证辅助函数满足定理条件，得到结论. 【注2】对出现的函数值差，或者出现函数值时构造函数值差结构，直接由拉格朗日中值定理结论描述，反向推导构造辅助函数.

更详细的问题探讨与典型题分析可以参见如下两个专题：

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参考课件

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